https://es.stackoverflow.com/questions/151569/por-qu%C3%A9-mis-sockets-en-nodejs-no-funcionan
Un poco modificado el servidor:
const http = require('http');
const express = require('express');
const app = express();
const io = require('socket.io')();
const server = http.createServer(app);
app.set('port', process.env.PORT || 3000);
app.use(express.static(__dirname + "/public"));
server.listen(app.get('port'), function(){
console.log("Servidor iniciadio");
})
io.listen(server);
io.on('connection', function(socket) {
console.log("Nuevo cliente conectado");
socket.on('mensaje-cliente', function(data) {
console.log(data);
})
})
Nótese que el on('connection') del server no tiene que ver con el del socket.