Calculo de pi en alta precisión (aporte)

[engel lex]

Buenas, en estos días estaba por aquí un alguien preguntando sobre un programa básico con pi, por cosas de la vida, decidí ahondar en el tema... calcular pi con alta precisión...

deja claro que el siguiente tema no lo hago en pro de discutir la naturaleza de pi, ni nada al respecto, es solo en pro del calculo de alta precisión

aquí básicamente solo hay 2 temas importantes que abordar

-¿qué formula usar?
-¿como calculo números en alta precisión?

con lo primero... la formula, decidí usar la de euler

escogí esta por su precisión y su relativamente fácil aplicación

para aplicarla la tenemos que separar en 2 partes por su sumatoria y su factorial...

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir


sumatoria = factorial = 1;
for(i=1;i<ciclos;i++){
   factorial *= i/(i*2+1);
   sumatoria += factorial;
}
sumatoria *=2;
pi = sumatoria


ahí resolvemos esa formula básicamente... pero nos damos cuenta de un problema... los numeros double están limitados a 64 bits... unos 20 decimales para nuestro caso...

en este caso viene la aritmetica de alta precisión, GMP... aquí en el foro buscaba como usarlo... al final conseguí y publiqué el como...

este usa unidades especificas y operaciones especificas para alta precisión...

doy una ligera explicación de lo usado... no voy a caer en mucho detalle de las funciones...
mpf_t es una variable de tipo "float" propia
mpf_set_default_prec da el valor en bytes que la variable usará
mpf_init_set_str inicializa las variables desde un string... por que un string? porque quise -.-... se hay que inicializar las variables obligatoriamente

mpf_set_ui da un valor desde un entero sin signo a un float
div= division, mul = multiplicaccion, add= adición

mpf_get_str convierte de float de GMP a char* (string)

como no habia una multiplicacion / asignacion directa, me tocó usar una variable de intercambio


ahora la parte interesante... el codigo  

hice un pequeño/bonito formato de impresión de 10 en 10 dígitos... en  lineas de 50 y bloques de 500 con el numero de dígito como indicador... probé solo hasta 40.000 dígitos, comprobando en internet precisos... pero en 5min 9 seg! es mi único intento en este campo... no esperen romper el record mundial de decimales ;P por cierto... de ahí en adelante, los dígitos son cuesta arriba... así que cuidado con el tiempo... pueden usar el programa pasando el numero de dígitos como argumento... los dígitos los toma en cuanta de 100 en 100

pd: la precisión la hago como  "precision = digitos * 100 * 3 * 1.12" porque descubrí que se requieren 3 ciclos por dígito correcto sobre los 100 con un 12% de error (calculado a ojo)

---------------------------------------------------------------codigo final con formulas a partir de aqui---------------------------------------------------------------

librerias

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>
#include <time.h>
#include <sstream>
using namespace std; // :P


prototipos

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

string metodo_euler(unsigned long int digitos, mp_exp_t &exponente);
string metodo_ramanujan(unsigned long int digitos, mp_exp_t &exponente);
void imprimir_pi_aux(string pi, mp_exp_t exponente, int digitos);

main

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

int main(int argc, char **argv) {
   unsigned long int digitos = strtol(argv[1], NULL, 10); //argv a int
   mpf_set_default_prec(32 * 10 * (digitos / 100) * 1.11); //precision + 10%
   long exponente;
   clock_t start = clock();
   string pi;
   int metodo = 0;
   int i = 1;
   for (i = 0; i < argc; i++) {
       if (argv[i][0] == '-') {
           switch (argv[i][1]) {
               case 'e':
                   metodo = 0;
                   break;
               case 'r':
                   metodo = 1;
                   break;
           }
       }
   }
   switch (metodo) {
       case 0:
           cout << "imprimiendo por metodo Euler, " << digitos * 3 * 1.12 << " ciclos"<<endl;
           pi = metodo_euler(digitos, exponente);
           break;
       case 1:
           cout << "imprimiendo por metodo Ramanujan, " << (int) (digitos / 8 * 1.01) << " ciclos"<<endl;
           pi = metodo_ramanujan(digitos, exponente);
           break;
   }

   clock_t end = clock();

   imprimir_pi_aux(pi, exponente, digitos);
   cout << "\ntiempo total de ejecucion: " << (float) (end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "\n";
   cout << "tiempo total de impresion: " << (float) (clock() - end) / CLOCKS_PER_SEC << "\n\n";
   return 0;
}

tiene 2 argumentos... primero los digitos (obligatorio)... luego -r para ramanujan o -e para euler (opcional, euler predeterminado)

imprimir_pi_aux

para tener un formato único de impresión para todo

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

void imprimir_pi_aux(string pi, long exponente, int digitos) {
   cout << "Pi: ";
   stringstream aux;
   unsigned long int i;
   if (exponente <= 0) {
       cout << "0.";
       while (exponente < 0) {
           cout << 0;
           exponente++;
       }
   } else {
       for (i = 0; i < exponente; i++) {
           cout << pi[i];
       }
       cout << ".\n\n1:\t";
   }
   for (i = exponente; i < digitos + 1; i++) {
       aux << pi[i];
       if ((i - exponente + 1) % 10 == 0) aux << ' ';
       if ((i - exponente + 1) % 500 == 0) aux << endl;
       if ((i - exponente + 1) % 50 == 0 && i < digitos) aux << endl << i + 1 << ":\t";
   }
   aux << endl;
   cout << aux.str();
}
aux por consejo de amchacon

metodo_euler

corto, simple, pero largo... para 10.000 dígitos 33.600 ciclos o para mi unos 11 seg

basado en la formula

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

string metodo_euler(unsigned long int digitos, long &exponente) {
   digitos /= 100; //trabaja con lotes de 100
   unsigned long int precision = digitos * 100 * 3 * 1.12;
   unsigned long int x, i;
   mpf_t factorial, sumatoria, buff_factorial; //variables GMP
   mpf_init_set_ui(factorial, 1); //factorial=1
   mpf_init_set_ui(sumatoria, 1); //sumatoria=1
   mpf_init_set_ui(buff_factorial, 1); //buff_factorial=1

   for (x = 1; x < precision; x++) {
       i = 2 * x + 1;
       mpf_set_ui(buff_factorial, x); //buff_factorial=x
       mpf_div_ui(buff_factorial, buff_factorial, i); //buff_factorial*=i
       mpf_mul(factorial, factorial, buff_factorial); //factorial*=buff_factorial
       mpf_add(sumatoria, sumatoria, factorial); //sumatoria+=factorial
   }
   mpf_mul_ui(sumatoria, sumatoria, 2); //sumatoria*=2
   return mpf_get_str(NULL, &exponente, 10, 0, sumatoria);
}

metodo_ramanujan

por consejo de do-while, basado en la formula

eficiente, pero dificil de aplicar (si no, miren el codigo de abajo)
para 10.000 digitos 1.262 ciclos en 1.1 segundos

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

string metodo_ramanujan(unsigned long int digitos, long &exponente) {
   digitos /= 8;
   digitos *= 1.01;
   unsigned long int i, j;
   mpf_t sumatoria, buff_sumatoria, buff_ciclo_superior, buff_ciclo_inferior, primera_parte,
           buff_ciclo_inferior2, factorial_superior, factorial_inferior;
   mpf_init_set_ui(sumatoria, 1103); //sumatoria=0
   mpf_init_set_ui(buff_sumatoria, 0); //buff_sumatoria=0
   mpf_init_set_ui(buff_ciclo_superior, 0); //buff_ciclo_superior=0
   mpf_init_set_ui(buff_ciclo_inferior, 0); //buff_ciclo_inferior=0
   mpf_init_set_ui(primera_parte, 0); //primera_parte=0
   mpf_init_set_ui(buff_ciclo_inferior2, 0); //buff_ciclo_inferior2=0
   mpf_init_set_ui(factorial_superior, 1); //factorial_superior=1
   mpf_init_set_ui(factorial_inferior, 1); //factorial_inferior=1
   mpf_sqrt_ui(primera_parte, 2); //primera_parte=sqrt(2)
   mpf_mul_ui(primera_parte, primera_parte, 2); //primera_parte*=2
   mpf_div_ui(primera_parte, primera_parte, 9801); //primera_parte/=9801

   for (i = 1; i <= digitos; i++) {
       for (j = (i - 1)*4 + 1; j <= i * 4; j++) {
           mpf_mul_ui(factorial_superior, factorial_superior, j);
       }
       mpf_set_ui(buff_ciclo_superior, 26390);
       mpf_mul_ui(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, i);
       mpf_add_ui(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, 1103);
       mpf_mul(buff_ciclo_superior, buff_ciclo_superior, factorial_superior);
       mpf_mul_ui(factorial_inferior, factorial_inferior, i);
       mpf_pow_ui(buff_ciclo_inferior, factorial_inferior, 4);
       mpf_set_ui(buff_ciclo_inferior2, 396);
       mpf_pow_ui(buff_ciclo_inferior2, buff_ciclo_inferior2, 4 * i);
       mpf_mul(buff_ciclo_inferior, buff_ciclo_inferior, buff_ciclo_inferior2);
       mpf_div(buff_sumatoria, buff_ciclo_superior, buff_ciclo_inferior);
       mpf_add(sumatoria, sumatoria, buff_sumatoria);

   }
   mpf_mul(sumatoria, sumatoria, primera_parte);
   mpf_ui_div(sumatoria, 1, sumatoria);
   return mpf_get_str(NULL, &exponente, 10, 0, sumatoria);
}

[1mpuls0]

Interesante 

Hace algunos años (como por el 2009) tuve la idea realizar un programa para calcular PI con la mayor cantidad de dígitos pero al investigar, métodos, métodos, algoritmos, proyectos me topé con la sorpresa que en ese tiempo se habían calculado 2.5 trillones de dígitos decimales

Creo que el nuevo record está en 10 trillones de dígitos decimales 

:http://www.numberworld.org/digits/Pi/

Pero me parece interesantes algunas deducciones que hiciste en tu implementación.

PD. Por ahora tengo la idea de hacer un colisionador md5 

[ivancea96]

Está muy bien. Una alternativa al problema de la velocidad, podría ser ir introduciendo cifra a cifra en un fichero. Pero eso ya sale del tema, ya que cambiaría el algoritmo xD

[dato000]

Creo que el nuevo record está en 10 trillones de dígitos decimales 

Got to be Fucking Kidding me 

Excelente código

[amchacon]

Las asignaciones de este tipo de números son muy lentas. Si puedes evitarte usar esa variable auxiliar aumentarías velocidad.

Y bueno el cout es muyyyyyyyy lento, tardarías menos en imprimir haciendo así:

Código (cpp) [Seleccionar] Expandir

#include <sstream>

//....

string valor = mpf_get_str(NULL, &buff, 10, 0, sumatoria);
stringstream aux;

for (i = 1; i < digitos * 100 + 1; i++) {
       aux << valor[i];
       if (i % 10 == 0) aux << ' ';
       if (i % 500 == 0) aux << endl;
       if (i % 50 == 0 && i < digitos * 100) aux <<endl << i + 1 << ":\t";
}
aux << endl;

cout<<aux.str();


[engel lex]

en realidad no me preocupé del cout porque la diferencia ue causa es baja, si calculan 10000 decimales, haces unos 33000 calculos con 3 variables de 35kb xD e imprimir 35kb no toma sino unas décimas de segundo por lento que sea :p pero lo voy a hacer con printf me dió pereza hacerlo anoche

por otro lado no se puede hacet cifra a cifra ya que el resultado es la combinación de factoriales sumatorias y potencias, el numero siempre debe debe ser reusado

[amchacon]

El problema no es imprimir muchos datos, sino el acceso a pantalla. Cada vez que adcedes a pantalla el programa se "congela" hasta que se refresque.

Por eso he condensado toda tu salida en un solo string, para que haga un solo acceso a pantalla.

PD: Si crees que la diferencia de tiempo es baja, te invito a poner un simple cout en el bucle de cálculo. A ver la diferencia de tiempos

[MCKSys Argentina]

PD. Por ahora tengo la idea de hacer un colisionador md5 

http://www.mscs.dal.ca/~selinger/md5collision/

Saludos!

[z3nth10n]

Interesante el tema... Ya solo falta que haya un contador en la consola diciendo cuantos decimales se han calculado y los segundos requeridos

Un saludo.

[engel lex]

ikillnukes tambien a eso voy, segundo argumento sin salida, solo para ver el tiempo del calculo, los decimales calculados correctos no es tan simple fijate que yo genero decimales de mas, para asegurar el valor correcto, si ves.el metodo de euler ves que casi siempre da decimales periódicos

próximo a probar:salida concatenada a archivo, tiempo de ejecución, alguna sugerencia?