está clarito.. NULL POINTER, una variable apuntando a null.. por lo tanto no le puedes indicar las posiciones 0, 0 porque no tiene memoria reservada
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public class Main {
private String[][] array = new String[5][5];
/* private final static int filas = 6;
private final static int columnas = 6;*/
public static void main(String[] args) {
Main ob = new Main();
ob.setArray();
System.out.println(ob.array[0][0]);
}
public void setArray() {
this.array[0][0] = "hola";
}
}