Filosofía sobre el producto vacío y el factorial de cero

[WHK]

Hola, quisiera comenzar este post para debatir un poco sobre el producto vacío ya que me ha tocado leer un poco sobre esto y lo que he aprendido es que el factorial de 0 y 1 es 1 pero lógicamente el factorial de 0 debería ser 0 aunque matemáticamente es lo contrario.

La pregunta principal es... porqué el factorial de 0 es 0?, hay una formula matemática que indica que es posible obtener el valor factorial de un numero a n a través de una fórmula:


Tal como se indica acá: http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

El tema es que según esa fórmula está correct pero lógicamente no ya que  0 objetos no puede caber una vez en 0 puestos, la respuesta sería 0.

Por ejemplo, digamos que tenemos 0 personas y 0 puestos de trabajos y queremos saber todas las combinaciones posibles para que cada persona tenga un puesto de trabajo sin repetirse... la respuesta lógica debería ser 0 combinaciones porque no hay personas ni puestos de trabajos, digamos que computacionalmente tenemos personas = null y trabajos = null, entonces no puede dar un resultado igual a 1 combinación.

Entonces, aparte de poder ser comprobado matemáticamente, porqué se produce ese uno?

0! = 0x = 1???

Otra pregunta, porqué el producto vacío es 1? xD , para mi un producto vacio es nulo, es mas, mi lógica me dice que el valor cero no existe, para mi los números enteros son: -5,-4,-3,-2,-1,null,1,2,3,4,5 por lo cual null al ser un valor neutro en ves de cero pasaría a no tener un valor ni ecuación (no estoy diciendo que el cero como dígito no exista ya que se puede utilizar en unidades).

Por ejejmplo null + 1. Si decimos que el producto vacio es 1 entonces 0 + 1 = 2? que pasa con las matemáticas?

[El_Andaluz]

Dos ejemplos frecuentes de producto vacío son a0 = 1 (cualquier número elevado a la potencia cero vale uno) y 0! = 1 (el factorial de cero vale uno).

También se puede hablar de producto vacío en el caso en que el índice inferior de un productorio es mayor que el índice superior, por ejemplo:



Como no existe ningún índice que satisfaga ambas condiciones, es decir, el intervalo [2,1] es vacío, el productorio no consta de ningún factor y por tanto vale uno.

[ivancea96]

Es un convenio.

[kub0x]

[youtube=640,360]https://www.youtube.com/watch?v=Mfk_L4Nx2ZI[/youtube]

Saludos.

[Gh057]

Hola! Si bien puede parecer contradictorio, o dibujar una sonrisa luego al ver la lógica en el desarrollo que indicas en la fórmula WHK para n's mayores a uno

la razón principal es que se aplica el axioma del elemento neutro para la operación multiplicación (el 1) caso similar sucede en la operación suma, donde el elemento neutro es el 0 (cuando se intenta sumar 0 elementos).
Saludos!

[WHK]

Bien extraño, a pesar de que comprendí muy bien el concepto del video de kub0x discrepo en que existe 1 manera de ordenar cero elementos, para mi no hay manera de ordenar 0 elementos porque no hay elementos por lo cual no puede haber una manera, simplemente no hay maneras, es como decir en programación: ordena de mayor a menos un objeto nulo, el software compilado o interpretado terminará arrojando una excepción diciendo que es imposible realizar el ordenamiento porque no hay objetos a ordenar.

Para mi la fórmula fue hecha a medias o no refleja exactamente el calculo de un valor factorial ya que no se puede aplicar a un valor menor a 1, es necesario aplicar otras formulas de atajo y en teoría debería ser normal ya que no puedo ordenar 100 monedas de 1 peso que le tengo de saldo negativo en la caja de mi contabilidad, es como si yo tuviera un rancho y vendo todo y vendo 10 chanchos extras por lo cual quedo debiendo 10 chanchos, estos no los puedo ordenar porque no los tengo fisicamente y el valor factorial está destinado a la ordenanza de objetos.

Otro ejemplo es intentar ordenar media banana... pues solo hay una manera y está bien, cuantas maneras hay de ordenar un cuarto de una banana? pues una.

Yo pienso que el problema de raíz está en intentar calcular matematicamente algo que no es matemático por naturaleza, saber de cuantas maneras se puede ordenar un objeto no se puede aplicar a todo valor numérico existente y por ende las formulas existentes no puedes acabar encontrando todos los resultados reales.

Por ejemplo, para mi el valor factorial de -5 es -120 porque -5 invierto el signo multiplicando por -1 y termino obteniendo el valor factorial de 5 y al resultado lo multiplico por -1 quedando en -120 por lo cual para mi cualquier valor negativo factorial es directamente proporcional al valor factorial positivo manteniendo su signo... pero físicamente esto es posible? pues para mi no.

Alguien me puede dar un uso práctico de calcular el valor factorial de 0, 0.5 o -1?

A lo mejor un valor factorial no necesariamente deba ser la multiplicacion de todos los numeros naturales de n - 1, talves hace falta un algoritmo que indique que su valor siempre será mayor a uno y que refleje las reglas de la física actual si es que se quiere aplicar objetos físicos.

Para mi un calculo factorial no se debería aplicar a objetos no físicos, y para objetos no físicos la fórmula debería ser diferente.

Es un convenio.

Averiguaré que es un convenio

[ivancea96]

Alguien me puede dar un uso práctico de calcular el valor factorial de 0, 0.5 o -1?

Solo existe factoriales de enteros positivos. 0.5 y -1 quedan descartados. El 0 se puso por convenio que es 1, es decir, se le puso 'arbitrariamente' ese valor. ¿Por qué 1 y no 0? Pues habrá más razones para que sea 1, por lo que sea.

La explicación de ese vídeo, aunque es uan explicación interesante, no es la definición de factorial, y no es válido. Factorial es un multiplicatorio, no una ecuación "recursiva".

Debo decir que ese canal tiene varios vídeos que, aunque son lógicamente aceptables, sus explicaciones no son matemáticamente correctas... Por ejemplo, la explicación de que la serie divergente 'sumatorio de todos los números naturales' es igual a -1/12.

[DarK_FirefoX]

Podemos ver tambien que si tomamos aquí n=1 (caso extremo), vemos que con la siguiente identidad:



tendríamos que 0! = 1, pero esto es un argumento informal. 0! = 1 es un caso especial de la convención de producto vacio (como dicen por alla arriba ^)

[Gh057]

Claro, es informal en el sentido que la demostración planteada en la wiki es similar al de inducción,  http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica (tengo una proposición x para n, mi hipótesis es que si cumple para n y para n+1, entonces es válida para cualquier n) solo que toma por conveniencia un n > 1 y se plantea que si es válido para n, lo es para n-1... es por eso que decía lo de la sonrisa, pareciera muy "rebuscada" la demostración... casi como definir qué es una recursión, recursivamente XD)

También hay referencias de demostraciones por combinatoria, ver http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial sin embargo a mi entender no es correcto, porque estamos tomando la definición de coeficiente binomial para demostrar una premisa... (es el huevo, o la gallina?)

La explicación más coherente a mi pobre entender, es al ir por el principio, tanto la suma como la multiplicación son operaciones cerradas y bien definidas para los enteros, en donde establecidas ciertas afirmaciones o premisas, puede demostrarse los teoremas luego planteados. Asi lo trata tanto Giusianno Peanno, Gauss,  Euclides y otros matemáticos al plantear los principios de la aritmética.
(nota de color, dejo enlaces a sus trabajos a continuación)
-Arithmetices Principia https://mega.co.nz/#!wdMADSLY!Sdbfxzwsw_gkIew2GdjaC5JVWwd79BITkLFAxwoX8s0
-Disquisitiones Arithmeticae https://mega.co.nz/#!0Y0i1KSB!i4Od9lnbtvNQV1HpGyPd2LiwtXBPXKyysmFfYucw3h8

Ha habido hasta un lindo debate ya que Peanno no tomaba el cero como número natural, de hecho no le asignaba elementos sucesivos... pero entramos en zonas escabrosas jajaaa

los axiomas de las operaciones binarias +, * para N o como en la referencia para R son (lo pego ya que se me complicaba el tipeo de la simbología... era un mamarracho)
- http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales

Teniendo definidas las premisas tanto para la operación binaria suma y la multiplicación, si se combina con una estructura algebraica tal como N = {1, 2, 3...} o sea  (N , *) se obtiene un monoide http://es.wikipedia.org/wiki/Monoide

De ello podemos ver la figura del elemento neutro o identidad -que tiene propiedades reflexivas- presente en ambas operaciones, tal que e+n=n+e=n ó e*n=n*e=n para todo elemento n incluído en la estrucutra algebraica.

Interesante, ya que e es un número, incluído en la estructura, y por el principio de unicidad es único. (Y no olvidemos el axioma del buen orden...)  Entonces si efectuamos una operación binaria en {0}, solamente vamos a obtener e, ya que estamos queriendo realizar un producto o suma sin elementos de esa estructura algebraica.

(Ver suma vacía, y su sucesión.)

Luego entonces, si leemos sobre el factorial y que el mismo se define como una sucesión de productos de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n, caemos que 0! ó 0*0 no está definida dentro de N, y obtenemos un producto vacío; siendo su valor el elemento e identidad o neutro de la operación aplicada, o sea 1.

Idem razonamiento se aplica en combinatoria al hacer 0 elevado a la 0 (operación binaria sin elementos a ambos lados, no confundir con 0 elevado a la m..)

Si, una vez más... no deja de ser menos perverso. XD

Traté de plantear varios puntos de vista en muy poco espacio, desde ya pido disculpas si pequé de soso por no complicar aún más el razonamiento con demostraciones analíticas, pero los mismos se presentan en cada referencia. Espero haberte ayudado un poco, como verás cada tema en la aritmética o matemática discreta está relacionado con el anterior... es un delirio...
Saludos!