Introducción al álgebra de Boole...

[BADBYTE-K]

aki hay un mini texto que sirve a kien kiera empezar en electronica digital...basico y muy bueno por eso lo komparto

Introducción al álgebra de Boole

Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos.

Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...

Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fue George Boole el que desarrolló las bases de la lógica matemática.

Operaciones lógicas básicas

Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1.
En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas:

SUMA LOGICA:

Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a+b
0 0  0
0 1  1
1 0  1
1 1  1

PRODUCTO LOGICO:

Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a*b
0 0  0
0 1  0
1 0  0
1 1  1


NEGACION LOGICA:

Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a a'
0 1
1 0


Propiedades del álgebra de Boole

Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

LEYES DE IDEMPOTENCIA:

De la suma: a+a = a ; a+a' = 1
Del producto: a*a = a ; a*a' = 0

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)

LEYES DE DE MORGAN:

(a+b+c)' = a'*b'*c'
(a*b*c)' = a'+b'+c'

Otras operaciones lógicas

A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas, las cuales son:

NAND, cuya tabla correspondiente es:

a b (a*b)'
0 0  1
0 1  1
1 0  1
1 1  0


NOR, cuya tabla correspondiente es:

a b (a+b)'
0 0  1
0 1  0
1 0  0
1 1  0


XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:

a b a(+)b
0 0  0
0 1  1
1 0  1
1 1  0


Compuertas lógicas

 


Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha.

Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias:

54/74 (LS) 00          Cuádruple puerta NAND de dos entradas
54/74 (LS) 02          Cuádruple puerta NOR de dos entradas
54/74 (LS) 04          Séxtuple puerta NOT
54/74 (LS) 08          Cuádruple puerta AND de dos entradas
54/74 (LS) 10          Triple puerta NAND de tres entradas
54/74 (LS) 11          Triple puerta AND de tres entradas
54/74 (LS) 20          Doble puerta NAND de cuatro entradas
54/74 (LS) 21          Doble puerta AND de cuatro entradas
54/74 (LS) 27          Triple puerta NOR de tres entradas
54/74 (LS) 30          Puerta NAND de ocho entradas
54/74 (LS) 32          Cuádruple puerta OR de dos entradas

Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas.
Hay que mencionar en este punto que los niveles de tensión que se corresponden con los niveles lógicos 1 y 0 dependen de la familia lógica empleada. De momento basta saber que la familia TTL se alimenta con +5V, por lo que los niveles de tensión se corresponderán con +5V para el 1 lógico y 0V para el 0 lógico (idealmente hablando, claro).

Funciones lógicas

La aplicación más directa de las puertas lógicas es la combinación entre dos o más de ellas para formar circuitos lógicos que responden a funciones lógicas. Una función lógica hace que una o más salidas tengan un determinado valor para un valor determinado de las entradas.

Supongamos que tenemos dos entradas, A y B, y una salida F. Vamos a hacer que la salida sea 1 lógico cuando A y B tengan el mismo valor, siendo 0 la salida si A y B son diferentes.

En primer lugar veamos los valores de A y B que hacen 1 la función:

A = 1 y B = 1
A = 0 y B = 0

Es decir, podemos suponer dos funciones de respuesta para cada caso:

F1 = A*B (A y B a 1 hacen F1 1)
F2 = A'*B' (A y B a 0 hacen F2 1)

La suma de estas funciones será la función lógica final que buscamos:

F = F1 + F2 = (A*B)+(A'*B')

A continuación vamos a ver como en muchos casos es posible simplificar la función lógica final en otra más simple sin alterar el funcionamiento del circuito.

Simplificación de funciones

Supongamos que tenemos un circuito donde "F" es la respuesta (salida) del mismo en función de las señales A, B, y C (entradas):

F = A*B*C + A'*B*C + B*C

Esta función puede ser simplificable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. En primer lugar aplicamos la propiedad distributiva:

F = B*C*(A+A') + B*C

Ahora aplicamos las leyes de idempotencia:

F = B*C + B*C = B*C

Como hemos podido ver en este ejemplo en muchas ocasiones se puede simplificar la función (y por tanto el circuito) sin que ello afecte al resultado. Más adelante veremos como simplificar funciones empleando otros métodos más sencillos y fiables.

Tablas de verdad

DEFINICION:

Es una forma de representación de una función en la que se indica el valor 0 o 1 para cada valor que toma ésta por cada una de las posibles combinaciones que las variables de entrada pueden tomar.

Anteriormente hemos visto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones lógicas; estas tablas son tablas de verdad de sus correspondientes puertas lógicas.

La tabla de verdad es la herramienta que debemos emplear para obtener la forma canónica de la función del circuito, para así poder simplificar y conseguir la función más óptima.

Veamos un ejemplo de la tabla de verdad para una NAND de cuatro entradas:


A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0


Como podemos ver, si simplificamos la función obtenemos:

F = (A*B*C*D)'

es decir, un puerta NAND de 4 entradas.

                               Autor: Miguel Angel Montejo Ráez[/color]

[EL_ZoRRo]

Un texto muyu interezante con la electronica digital se puedes realizar todo tipo de circuitos desde lalarmas , medidores de eco ,controles temp dig, etc es solo cuestieon de pensar soluciones y llevarlas a cabo mediante la electronica
Existen un sinnumero de semiconductores los explicados en el texto anterior son los que hacen las operaciones basicas como suma , mutiplicacion ,pero hay contadores  coompuertas que se las puede hacer ocilar a una deteminada fcia , otros intergarados con salida de display que ejecutan diversas  funciones etc...............

Un Saludo

[Meta]

Muy buena la explicación sin dibujo. Deberías si es posible y para facil entendimiento poner las puertas básicas que has puesto en dibujo, para facil entendimiento. Me refiero en cada puerta. Y poner los integrados más usados como los TTL, es decir lo esquemas electricos mas usados.7400 puertas NAND, 7404 puertas NOT, y etc...

Se que aquí es un poco dificilillo, en tal caso, es mejor omostrar una wb de eso.

[kampana]

además la algebra boleana sirve para simplificar circuitos, lo que antes te llevaba una madresota de circuito ahora  puedes hacerlo en un circuito más compacto

[Peak]

Felicidades por la información

[nil_appserver]

algo mas sencillo esta el libro sistemas digitale tocci
descargalo de circuitmaker.com
saluidos mil_appserver

[Galagar]

si pero al minimo ruido se te jode todo, por eso toda la electronica que necesita seguridad (como por ejemplo los sistemas de comunicacion militares), son totalmente analogicos

[stacking]

como puedo compra el aljebra es que tengo trabajos de la universidad. gracias

[R41N-W4R3]

  Venga hombre... como vas a comprarlo....  precisamente algebra de bool, es de las pocas cosas interesantes y utiles que me encontre en la carrera.

    Lo unico que debes hacer es aprenderte las reglas para simplificacion de sistemas y a hacer mapas del señor karnaug (no recuerdo si se escribia asi ejje)

    Como te digo, con esto aprenderas ha hacer circuitos basico y es sencillo si le dedicas un poco de tiempo. Suerte y animo

[skapunky]

Lo unico que debes hacer es aprenderte las reglas para simplificacion de sistemas y a hacer mapas del señor karnaug (no recuerdo si se escribia asi ejje)

Por una paret es cierto que sabiendo Karnaugh no se necesita algebra de boole, pero hay veces que las tablas dan problemas que el metodo de boole no da. Por ejemplo en el tema de los azares que a la hora de implementar puede varias un montaje.

O incluso en algunos montajes con karnaugh pueden surgir algunos problemas, justamente en el ultimo proyecto que hice tube de utilizar boole para simplificar una cosilla bastante sencilla pero con karnaugh no acababa de funcionar.

Saudos.