ALGEBRA DE BOOLE

[h0oke]

He visto, que ha algunos les interesó la electrónica y sobre todo la parte de lógica digital.

He decidido poner en este post, los fundamentos del algebra de boole, y el por que de cada una de las operaciones que se encuentran en él.

Espero que les sirva de ayuda, me ha costado mucho la verdad.

ALGEBRA DE BOOLE

ALGEBRA DE BOOLE

Postulados:

Operaciones conmutativas:

A*B=B*A
A+B=B+A

Elemento neutro:

A*1=A
A+0=A

Propiedad distributiva:

A*(B+C)=(A*B)+(A*C)
A+(B*C)=(A+B)*(A+C)

Complementos:

A+Ã=1
A*Ã=0

TEOREMAS:

DUALIDAD: Dada una identidad de los postulados del álgebra de boole, por lo tanto válida, se obtiene otra identidad igualmente válida para la operación * en la operación +, y viceversa. Cada operación se reemplaza por otra, al igual que sus elementos neutros.

IDEMPOTENCIA:

A*A=A
A+A=A

Demostración:

A+A=(A+A)*1
         (A+A)*(A+Ã)
         A+(A*Ã)
         A+0
         A
Dual para la operación *


ABSORCIÓN:
A+1=1
A*0=0
Demostración:

1=A+Ã
   A+(Ã*1)
   (A+Ã)*(A+1)
   1*(A+1)
   (A+1)*1
   A+1

Dual para A*0

Primera ley de redundancia:
A+(A*B)=A
A*(A+B)=A

A=A*1
    A*(B+1)
    (A*B)+(A*1)
    (A*1)+(A*B)
    A+(A*B)

Dual para A*(A+B)

Unicidad del complemento:

Supondremos que:

Ã=X ^ Ã=Y // Es decir supondremos 2 complementos posibles para Ã

Si existiera lo anterior, entonces tendríamos:

(A+Ã=A+X=A+Y=1) ^ (A*Ã=A*X=A*Y=0)

Demostración:

X=X*1
    X*(A+Y)
    (X*A)+(X*Y)
    0+(X*Y)
    (A*Y)+(X*Y)
    Y*(A+X)
    Y*1
     Y

INVOLUCION:

A=Ẫ

Demostración:
Ã=E
Ẽ = A

A*E=0
A+E=1

Reemplazando en E:
A*Ã=0
A+Ã=1


ASOCIATIVA:

A+(B+C)=(A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C

Supondremos:

A+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))
Ã+((A*B)*C)=A+((A*(B*C))

DEMOSTRAREMOS:
A+((A*B)*C)=A+((A*B)*C)
A+((A*B)*C)=A
        A*(A*C)
        A+(A*B)+(A+C)
        A+((A*B)*C)

DEMOSTRAREMOS: Ã+((A*B)*C)=Ã+((A*B)*C)

Ã+(A*(B*C)) = (Ã+A) * (Ã+(B*C))
                             1 * (Ã+(B*C))
                             (Ã+B) * (Ã+C)
                             1 * (Ã+B) * (Ã+C)
                             (Ã+A) *  (Ã+B) * (Ã+C)
                            Ã+(A*B) * Ã+C
                            Ã+((A*B)*C)

Y CON ELLO:

(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C)))  =(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))

Al primer miembro lo minimizaremos:

(A+((A*B)*C))* (Ã+((A*B)*C))  

(A*Ã)+((A*B)*C)

0 + ((A*B)*C))          I



(A+(A*(B*C)) *(Ã+(A*(B*C))

(A+Ã)+(A*(A*B))

0+(A*(A*B))   II

Para terminar:
I=II         
(A*B)*C=A*(A*B)   

PRIMERA LEY DE DEMORGAN:

_____
(A+O) = Ã*Õ
_____
(A*O) = Ã+Õ

Demostración:
   
(A+O) + (Ã*Õ) = 1   

(A+O)*Ã + (A+O)*Õ

(A*Ã)+O + (O*Õ)+A

1+O + 1+A

1+1

1

SEGUNDA LEY DE DEMORGAN

Dual al anterior

SEGUNDA LEY REDUNDANCIA

A*(Ã+B) = A*B
A+(Ã*B) = A+B

A*(Ã+B) = (A*Ã) + (A*B)
                       0    +   (A*B)
                    (A*B)

Dual al anterior para demostrar : A+(Ã*B) = A+B

[h0oke]

ALGEBRA DE BOOLE OPERACIONES

Funciones Booleanas:

Variable Booleana: Aquella que solo puede tomar como valores {0,1}.
Función Booleana: Aquella que relaciona variables booleanas, con un resultado que pertenece a {0,1}, relacionándolas a través de operaciones de producto, suma, y disyunción.

Dado que una variable booleanas puede tomar 2 valores, el cálculo de una función se expresará a través de la cantidad de variables que adopte dicha función.

Ejemplos:

N=variables booleanas

N=1 -> n^2^1 = 4
N=2 -> n^2^2 = 16

De aquí llegamos a la siguiente expresión para normalizar:

2^(2^n)

Ejemplo:

N=2

Tenemos 4 funciones posibles:



De donde se puede deducir:

F0 = 0 |  F1 = a |  F2 = ã  |  F3=1

Expresiones analíticas:

SUMA DE PRODUCTOS

PRODUCTO DE SUMAS

FORMAS CANÓNICAS:

Forma Normal Disyuntiva:

Se denomina minitérmino al término obtenido de multiplicar las n variables de una función.

Una FND se obtiene con la suma de los minitérminos.

Obtención de una FND:

A cada término expresado como suma de productos lo multiplicamos por el neutro de la operación *.

Forma Normal Conjuntiva:

Se denomina maxitérmino a aquel término obtenido de la suma de las n variables de una función.

Se define a FNC como la suma de los maxitérminos.

Obtención de una FNC:

A cada término expresado como producto de suma lo multiplicamos por el neutro de la operación +.

FORMAS COMPLETAS:

FNDC : Aquella función compuesta por la sumatoria de todos los minitérminos. Donde la cantidad de minitérminos está dado por 2^n-1.

FNCC: Aquella función compuesta por la productoria de todos los maxitérminos. Donde la cantidad de maxitérminos está dado por 2^n-1.

Transformar funciones normales:

Cuando tenemos una FND, los minitérminos que no forman parte de ella, son los maxitérminos de la FNC, es decir que FNC=2^n-C, donde C es la cantidad de minterms.
Para la FNC tenemos una dualidad con respecto a FND.

Si tenemos:

FND(x,y) = x*y + x*¬y
FND*(x,y) = ¬x*y + ¬x*¬y
________      ____________             ______       ______
FND*(x,y) = ¬x*y + ¬x*¬y     =   (¬x*y)   +   (¬x*¬y)
FNC(x,y)=(x+¬y) + (x+y)

Minimización:

Procedimiento por el cual, se simplifica una forma normal hasta obtener la menor cantidad de variables y términos posibles.

[WaRc3L]

 , me servira mucho!, gracias por el aporte p0ckæ 


Me alegro que te preocupes por los demas 


Saludos!


WaRc3L

[h0oke]

De nadas 

Cualquier duda, ya sabes, pregunta.

Saludos!

[Ari Slash]

gracias.. exelente aporte

salu2

[h0oke]

De nada, ya sabes...cualquier duda es bienvenida. Si quieres que se modifique algo no dudes en decirlo.

Hasta luego.

[F.A]

Hola determx, estoy empezando con el álgebra de boole y tengo varias dudas ¿podria ponerme en contacto contigo?

Saludos

[h0oke]

El foro está para la resolver dudas.

Un saludo!